线性变换与仿射变换

线性变换的性质：对于 n 维向量的所有线性变换都可以用 n * n 矩阵表示。常见的缩放和旋转都是线性变换。线性变换满足以下式子：

平移不是线性变换。线性变换结合平移，称之为仿射变换（Affine transform），对于 3 维向量的仿射变换通常可以用 4 维矩阵表示，那么向量也需要 4 维的表示方式；本文对于向量的表示采取列向量的形式，且遵循右手定则。区别方向向量和点向量，方向向量代表一个方向，表示为（x, y, z, 0），点向量表示空间中的一个点，表示为（x, y, z, 1）；

平移变换

设平移矢量为 t，那么平移变换矩阵表示如下：

平移操作是针对点而言的，所以分别对方向（x, y, z, 0）和点（x, y, z, 1）操作会得到不同的结果：

平移变换的逆就相当于平移回去，即：

旋转变换

旋转矩阵的逆和平移类似，就是旋转回去，即：

旋转矩阵是正交矩阵，其行列式始终为1；

缩放变换

设缩放因子为 s，则沿坐标轴的缩放变换矩阵可写作：

若缩放因子的三个分量相等，则称之为均匀缩放，否则为非均匀缩放。缩放矩阵的逆，就是取缩放因子的倒数：

三维空间中绕任意轴旋转推导

如图所示，我们将向量 v 绕 r 单位向量旋转一个角度，即要写出 v’ 的表达式，可考虑把 v 分解为垂直于 r 和平行于 r 方向的两个向量：

于是引入 w 向量，建立坐标系：

于是可把 v’ 表示出来：

将其展开为矩阵形式：

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/356878461

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